семинары
СЕМИНАР ЛАБОРАТОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Об аналогии между электромагнитными и внутренними волнами
В.Г. Байдулов, П.А. Лесовский
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
e-mail: bayd@ipmnet.ru, pavel_andreevich_109@mail.ru
В работе развито инвариантное описание монохроматических внутренних волн. Определено механическое содержание преобразований симметрии и их инвариантов. Проведенное сопоставление с инвариантными свойствами электромагнитных волн позволило построить выражения для аналогов импульса, момента импульса, энергии, преобразований Лоренца и других характеристик специальной теории относительности и электродинамики. Определены выражения для функции Лагранжа и выведены законы сохранения. Отдельно исследованы инвариантные свойства, следующие из симметрий инверсии. Аналогия проведена как в случае отсутствия источников и токов в уравнениях Максвелла, так и при их наличии. Одной из основных целей работы было построение характеристик внутренних волн, инвариантных по отношению к изменению частоты колебаний.
Линеаризованные уравнения несжимаемой стратифицированной жидкости, которые могут быть записаны в виде
, (1)
теряют инвариантность по отношению к преобразованиям Галилея.
Однако если расширить класс допускаемых преобразований и исследовать систему (1), записанную в пространстве образов Фурье (уравнения монохроматических внутренних волн), то такие уравнения оказываются инвариантными относительно группы Лоренца двумерного пространства, где роль времени играет вертикальная координата.
При этом, симметрии уравнений внутренних волн в пространстве Фурье совпадут с симметриями уравнения Максвелла в пустом пространстве.
Уравнения монохроматических внутренних волн можно преобразовать к виду идентичному уравнениям Максвелла и найти аналоги напряженностей электрического и магнитного полей. Построение аналога тензора электромагнитного поля, позволяет найти величины инвариантные относительно изменения частоты колебаний.
Используя аналогию между внутренними и электромагнитными волнами можно также найти законы преобразования скоростей при смене частоты колебания, определить связи между функциями Грина и другими методами, используемыми для решения задач в теории внутренних волн и электромагнетизме.