| Планы: В рамках проблем с неизвестными областями контакта планируется рассмотреть задачи о равновесии неоднородных упругих тел, содержащих сопрягающиеся между собой тонкие включения различной природы при наличии дефекта. Модели будут характеризоваться параметром повреждаемости, описывающим условие сопряжения между включениями и между включением и матрицей. Планируется доказать разрешимость задач равновесия и исследовать асимптотику решений при стремлении параметра повреждаемости к нулю и бесконечности. Провести анализ задач управления параметром повреждаемости, считая, что этот параметр меняется от нуля до бесконечности. Функционал качества при этом может характеризовать поле перемещений упругого тела, поле напряжений или производную функционала энергии по форме дефекта, а параметр повреждаемости выступает в качестве функции управления.
Планируется исследовать возможность приближенной идентификации параметра повреждаемости сведением соответствующей обратной задачи к подходящей задаче оптимального управления, в которой в качестве функции управления выступает указанный параметр. Планируется распространить указанные результаты для сложных двуслойных конструкций, а также для конструкций, содержащих пересекающие внешнюю границу упругого тела тонкие включения при наличии дефектов. Кроме того, планируется исследовать задачи гомогенизации для моделей двухфазных сред, содержащих микро-включения, возникающие в электро-кинетических задачах химии и биологии и описываемые уравнениями Пуассона-Нернста-Планка. Доказать возможность предельного перехода по параметру, характеризующему краевые условия на границе раздела двух сред.
Планируется рассмотреть задачу о течении многотемпературной смеси вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей в ограниченной области. Модель будет характеризоваться распределениями плотностей, температур, давлений, энергий и полями скоростей компонент. При этом матрицы вязкостей будут предполагаться недиагональными.
При изучении водных растворов полимеров возникла задача об описании динамики одной молекулы полимера. Эта задача очень интересна с математической точки зрения.
Речь идет о параболическом уравнении с нелокальным по времени операторным коэффициентом. Нелокальность состоит в интегрировании функции от искомого решения по всему интервалу времени, на котором решается задача. Фактически, для определения всех коэффициентов в уравнении необходимо знать «будущее». Это абсолютно новый класс задач, который, к тому же, возник не просто как математическое упражнение. Экспериментальное исследование механизма и структуры течения в канале, превышающем в диаметре мембрану, инициирующую УВ- нагружение тонкого слоя жидкости, содержащего зародыши кавитации. Численное моделирование динамики развития разрыва в тонком слое в профилирующем канале. Экспериментальное и численное моделирование эффекта выброса на свободной поверхности при течении в профилированном канале при УВ- нагружение тонкого слоя жидкости, содержащего зародыши кавитации.
Экспериментально исследовать процесс трансформации детонационных волн (распространяющихся снизу вверх) при переходе из однокомпонентной пузырьковой среды с меньшей концентрацией в однокомпонентную пузырьковую среду с большей концентрацией газовой фазы. Экспериментально исследовать процесс трансформации детонационных волн (распространяющихся снизу вверх) при переходе из однокомпонентной пузырьковой среды в многокомпонентную пузырьковую среду. Экспериментально исследовать процесс трансформации детонационных волн (распространяющихся снизу вверх) при переходе из монодисперсной пузырьковой среды в полидисперсную пузырьковую среду.
Продолжить серии экспериментов на модернизированном стенде ИПТ ИГиЛ для уточнения предварительного режима технологического процесса транспортировки нерастворимых фрагментов ОТВС и его корректировки для разных масс и составов смесей, а также испытаний по износу материалов на модельном и натурном образце аппарата и трубопроводах ИПТ.
Предполагается исследовать разрешимость начально-краевых задач для импульсных ультрапараболических уравнений в классе энтропийных решений. Ультрапараболические уравнения используются при математическом моделировании процессов типа конвекция-диффузия. Помимо диффузии и переноса можно ещё учитывать и импульсные макроскопические флуктуации – очень быстрые изменения термодинамических параметров, которые моделируются с помощью импульсных условий. В проекте предполагается исследовать краевые задачи для импульсных квазилинейных уравнений в частных производных, которые пока ещё мало изучены в научной литературе.
В рамках проекта предполагается провести математическое исследование классической задачи о сингулярном стоке на дне потока идеальной жидкости, ограниченного сверху свободной границей. Несмотря на свою привлекательность, до настоящего времени данная задача изучалась только в приближенной постановке. Задача будет исследоваться в стационарной постановке и в предположении, что поле скорости является потенциальным. Сначала будет рассмотрен случай плоского горизонтального дна, а в дальнейшем планируется обобщить полученный результат на случай, когда сток находится в вершине расположенного на дне треугольного выступа. Помимо разрешимости предполагается исследовать такие качественные вопросы, как гладкость свободной границы, её монотонность при движении от бесконечности к точке над стоком, наличие заострения свободной границы в точке над стоком.
Объектом исследования являются математические модели механики композитов, электрокинетики многокомпонентных сред, динамики жидкости сильно неоднородных сред, описывающие взаимодействие деформируемых тел и механических систем типа жидкость – твердое тело, жидкость – жидкость, жидкость – вакуум.
Целью работы является доказательство корректности краевых задач для исследуемых математических моделей, исследование качественных свойств решений, в частности, анализ зависимости решений от физических и геометрических параметров, характеризующих задачу, а также проведение численных расчетов.
В рамках проекта исследуются краевые задачи для различных математических моделей сплошных сред. Некоторые из этих моделей являются классическими и требуют нестандартных подходов для получения новых результатов в соответствующих областях знания. Другие задачи проекта связаны с построением и исследованием новых адекватных моделей для хорошо известных сред и процессов. Кроме того, в ряде случаев требуется построить и изучить математические модели для процессов, которые до настоящего времени не были описаны на математическом уровне строгости. Таким образом, проводимые исследования относятся к следующим направлениям:
• новые подходы к изучению классических моделей динамики сплошных сред;
• новые математические модели и постановки задач для известных процессов и материалов;
• математические модели для новых, неисследованных процессов и материалов.
| 
